一个300年至今未解决的数学问题，到底有多难？

三体问题「Three-body problem」的原始描述是这样的：

三个小球都可以被视为质点，即有一定的质量但不存在体积和形状的点，比如我们将行星看作质点。

小球的质量m、初始位置p、初始速度v都可以取任意值，假设它们之间只有万有引力作用，那么它们运动的规律该是什么样子呢？

初始斜三角形顶点，初始速度为零，三个相同物体的近似轨迹

通俗地说，就是有没有一个公式，这个公式里一共只有质量m、初始位置p、初始速度v这 3 类参数可以代人，代入公式计算，就可以得到三个小球在任意时刻的运动状态。

01 什么是三体问题？

我们中学物理里的所有问题，都是在利用解析解代入参数、得到结果。

其实公式是有的，给大家看看三体问题数学表达式：

位置矢量 的牛顿运动方程式：

其中，m是三个物体的质量，G是万有引力常数。

我们对这种处理问题的方式非常熟悉，甚至有时候会错以为理工科的世界就是这样一个机械化的世界。

但，不好意思，其实真实并不是这样的，很多书本的知识在真实的世界并不通用。

也就是说，有解析解的运动没多少。

即便有公式，通常也是在做了简化、忽略了一些影响比较小的因素以后才简化得到的。

不过，公式只是理论化，和现实差别还是很大的。

但是公式如果不做简化，很多过程都是没有解析解的。

比如，绝大多数次数高于 5 次方的方程，就都是没有解析解的。

这个“没有”，并不是我们能力有限，暂时还没有找到，而是已经从数学原理上证明了，它们根本就没有解析解。

在这些已经被证明没有解析解的问题中，“三体问题”就是其中之一。

但是，即使无解析解并不意味着无解。

因为只要给定一组初始值，运动的物体总会在某一时刻具有确定的位置，只是这个位置我们没有办法写成公式算出来而已。

面对这样的问题，我们只能用具体的值去计算它们的运动轨迹。

比如，太阳、地球、绕地球转的一颗卫星，这其实就是三体问题。

虽然我们写不出公式，但是我们能预测卫星的轨道。

对于数学家来说，仍然希望找到运动的规律，于是就用计算机模拟三体问题，看看有没有一些特例。

比如刚才说了，大部分五次方程是没有解析解的，但在满足一定的条件时，它会退化为 4 次方程、3 次方程，这时候就有公式解了。

为什么我们总是时不时听到新闻说三体问题又被解决了呢？

就是因为人们通过一些简化的方式，把条件约束到“有时候有精确解”的状态下，然后公布了约束的方法和求解过程。

所以，每次三体问题的推进，其实都是这样出现的。

02 三体问题是如何推进的？

三体问题的历史可追溯到1499年，当时的探险家亚美利哥·韦斯普奇首次提出了这一问题。

韦斯普奇利用月球的位置信息来确定他在巴西的地理位置，这一方法在海上航行中极为重要，特别是用于确定经度。

这种使用天体位置来导航的方法在17世纪20年代成为了重要的航海技术。

尽管如此，月球的运动受到太阳和其他行星的复杂扰动影响，使得依据月球理论进行导航的准确性受限。

直到约翰·哈里森在18世纪发明了航海经线仪，才有效解决了确定经度的问题，这是一种能够在长时间航海过程中准确保持时间的机械装置。

同时，伽利略·伽利莱也对三体问题作出了研究贡献。

他确认了所有天体的下落速度是均匀相同的，这一发现是现代物理学中的重要里程碑，尽管伽利略没有将这一理论直接应用于行星运动的研究。

1687年，艾萨克·牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》第一卷中首次公开提出了三体问题，这一问题与他研究太阳、地球、月亮以及当时已知的五颗太阳系内行星的轨道密切相关。

牛顿的这一提问，开启了后续几个世纪关于天体物理学和数学界的广泛研究。

1887年，为庆祝瑞典国王60岁生日的盛事，举办了一场以三体问题变体——即太阳系稳定性问题为主题的有奖竞赛。

这一活动吸引了全球科学家的关注和参与。

亨利 庞加莱

庞加莱于次年证明了在三体问题中必然存在混沌现象，即使是极其微小的初始值差异，也会在系统的演变中被放大，导致最终状态大相径庭。

这种现象在自然界中比比皆是，例如著名的“蝴蝶效应”便是混沌理论的一个表现。

在解决三体问题方面，一个重要的里程碑是发现了一些特殊的周期解。

三体问题在单周期T≃6.3259时的“8”字型解动画

这些解包括三个质点沿固定轨迹周期性地运动，如著名的“8字形”轨迹。

除了8字形解外，还发现了特定条件下，三体系统中的一个轻体可以在五个特定的点上相对于两个较重体保持静态平衡，这些点被称为拉格朗日点。

随着计算机技术的发展，科学家利用增强的计算能力继续探索三体问题。

2013年，贝尔格莱德大学的物理学家们发现了13种新的特殊解。

2016年，上海交通大学的廖世俊教授及其团队利用天河二号超级计算机，发现了600多种新的周期解，并在接下来的两年中，又发现了1349种解。

对三体问题的研究不仅限于寻找新的周期解。

科学家们还使用统计方法，通过计算三个体在空间位置的概率分布来预测其中一个体被甩出去的概率。

这种方法继承了物理学家玻尔兹曼的思想，即一个孤立系统从任意初始状态出发，经过足够长时间，将经历其所有可能的微观状态。

最近的进展之一是希伯来大学的数学家们提出，一旦其中一个体被甩出去，整个系统就从三体问题退化为二体问题。

这种假设简化了问题的复杂性，并有助于更精确地预测剩余两体的运动轨迹。

这一系列研究成果不仅推动了我们对三体问题的理解，也对天体动力学、混沌理论以及预测复杂系统的行为提供了新的视角和工具。

通过这些研究，我们得以深入探讨宇宙中的动态复杂性，并在探索这些基本问题的过程中，继续扩展我们的科学边界。

03 三体问题给我们意义是什么？

三体问题，这一科学史上的经典难题，并非起源于具体的实用需求，而是为了验证和完善天体运动理论而生。

300多年前，科学家们为了使行星运动的理论更为严谨，开始探索这个看似简单但实际复杂的问题。

从此，三体问题在科学史上占据了一席之地，它的复杂性和挑战性超乎想象。

在三体问题的诞生地，一种自古希腊亚里士多德时代便形成的理性思维方式一直流传至今。

即便这种思维方式曾与中世纪欧洲的主流宗教观念发生冲突，它也未曾消逝。

相反，通过如托马斯·阿奎那等思想家的努力，这些理性的思考习惯被巧妙地融入基督教教义中，从而被更广泛地传播和接受。

历史上的国王，如瑞典和法国的君主，也将数学和科学的问题引入到他们的宫廷和庆典中，显示出科学问题的普及和受欢迎程度。

在中国，提及“三体”也能引起广泛的兴趣和讨论，尽管相比之下，如 P/NP 问题或希尔伯特的其他数学难题在普及程度上还远远不足。

这种对科学问题的兴趣，预示着我们对知识探索的热情。

当科学问题如三体问题能与文化和历史联系起来时，我们对其的理解和兴趣也会随之增加。未来，如果能将更多科学问题与中国的文化和历史相结合，我们的科学文化将会更加丰富多彩。

总结：

三体问题，其实并没有一个通用的解析解被找到，所以它仍然是物理和数学中的一个未解决问题。

不过，三体问题还为我们一个更广泛的真理：

在复杂系统中，稳定是罕见的，不稳定则是常态！

复杂系统由多个相互作用的部分组成，这些相互作用可能导致系统行为的不可预测性和混沌状态。

从宏观的星系到微观的粒子，再到我们日常生活中的经济和社会结构，无不体现了这一点。

通过理解三体问题，我们不仅加深了对天体运动的认知，也更加认识到在这个多变的世界中，即使是科学的解释也只能覆盖宇宙之谜的一小部分。

这种认识带给我们的，是对知识的无尽好奇和对世界的深切敬畏！

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/05/05

祝幸福~

参考文献

[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=bqzNakylrn9WVaZPPNJ7DOop10vZwL

[2].卓克*科技参考2

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