作者丨苏剑林

单位丨追一科技

研究方向丨NLP，神经网络

个人主页丨kexue.fm

这篇文章介绍一个发表在 NeurIPS 2019 的做词向量和句向量的模型 JoSE（Joint Spherical Embedding），论文名字是 Spherical Text Embedding。JoSE 模型思想上和方法上传承自 Doc2Vec，评测结果更加漂亮，但写作有点故弄玄虚之感。不过笔者决定写这篇文章，是因为觉得里边的某些分析过程有点意思，可能会对一般的优化问题都有些参考价值。

论文链接：https://arxiv.org/abs/1911.01196

优化目标

在思想上，这篇文章基本上跟 Doc2Vec 是一致的：为了训练句向量，把句子用一个 id 表示，然后把它也当作一个词，跟句内所有的词都共现，最后训练一个 Skip Gram 模型，训练的方式都是基于负采样的。跟 Doc2Vec 不一样的是，JoSE 将全体向量的模长都归一化了（也就是只考虑单位球面上的向量），然后训练目标没有用交叉熵，而是用 hinge loss：

其中 u 是“中心词”的词向量，v 是“上下文词”的词向量，它们分别来自两套词向量空间，d 则是当前句的句向量，而 u′ 负采样得到的“中心词”词向量，最后的 m>0 是一个常数。以前做相似度模型的读者应该能很轻松读懂这个优化目标的含义，它就是希望句子内的“词-词-句”打分 cos(u,v)+cos(u,d) 要高于“词-随机词-句”打分 cos(u′,v)+cos(u′,d)，但不需要太高，只要高出 m 就行了。

假定 u,v,d 都已经归一化的情况下，那么目标 (1) 就是（每个向量被假设为列向）：

梯度下降

目标 (1) 或 (2) 其实并没有什么新鲜之处，跟大多数词向量的目标类似，都是用内积衡量词的相关性，只不过这里的向量归一化过，所以内积就是 cos ，至于 hinge loss 和交叉熵孰优孰劣，我倒觉得不会有什么太大差别。 

事实上，笔者觉得文章比较有意思的是它后面对梯度的几何分析，在这里笔者用自己的话重复一下求解过程。设 x 是全体 u, v, d 向量中的其中一个，然后假设现在固定所有的其他向量，只优化 x ，设总的 loss 为 f(x)，那这个优化过程有两种描述方式：

也就是说，我们可以将这个问题理解为带有约束 ||x||=1 的 f(x) 最小化问题，也可以通过设 x=θ/||θ|| 将它转化为无约束的 f(θ/||θ||) 最小化问题。由于带约束的优化问题我们不熟悉，所以只好按照后一种方式来理解。

跟复杂模型不同的是，词向量算是一个比较简单的模型，所以我们最好手动求出它的梯度形式，然后编写对应函数进行梯度下降来优化，而不借助于一些自动求导工具。对于 f(θ/||θ||)，我们不难求得：

其中已经对部分变量进行了 x=θ/||θ|| 的替换，根据上述结果，梯度下降的迭代公式为：

其中是当前时刻的学习率，而因子 1/||θ|| 由于只是个标量，所以被整合到学习率中了。然后我们也可以写出：

再次将 1/||θ|| 整合到学习率中，我们可以得到只有的更新公式：

更新量修正

至此，上述内容都是很常规的推导，而接下来就是我说的比较有意思的地方了。首先有：

可以看到，实际上就是向量在方向上的投影分量，而整个 g 其实就是一个与垂直的向量，如下图示：

▲ 梯度的几何图示

在上图中，红色向量代表，蓝色向量代表，如果没有 ||x||=1 这个约束的话，那更新量应该直接由决定，但是因为有了约束，所以更新量由决定。然而，有下面两种不同的，都可能导致同一个 g：

▲ 第一种情况，∇xf(x)跟x的方向很靠近

▲ 第二种情况，∇xf(x)跟x的方向几乎相反

第一种情况的的方向跟很靠近，第二种情况则相反，但它们的 g 是一致的。前面说了，如果没有约束的话，才是梯度，换言之就是合理的更新方向；现在有了约束，虽然不能指出最合理的梯度方向，但直觉来看，它应该还是跟更新量有关的。

在第一种情况下，跟方向差得比较远，意味着这种情况下更新量应该大一些；而第二种情况下，跟方向比较一致，而我们只关心的方向，不关心它的模长，所以按理说这种情况下更新量应该小一些。

所以，哪怕这两种情况下 g 都一样，我们还是需要有所区分，一个很自然的想法是：既然和的方向的一致性会对更新量的大小有所影响，所以不妨用：

来调节更新量，这个调节因子正好满足“方向越一致，调节因子越小”的特性。这个自然的想法就导致了最终的更新公式：

故弄玄虚

有意思的地方讲完了，下面讲一下没有意思的地方了。对 NLP 有稍微深入一点了解的读者（看过 Word2Vec 的数学原理，推导过常规模型的梯度）应该会觉得，上面前两节内容并没有什么很深奥的内容，第三节的几何解释和学习率调节有点新颖，但也是有迹可循的内容。不过要是去看原论文的话，那感觉可能就完全不一样了，作者用“概率分布”、“黎曼流形上的优化”等语言，把上述本该比较容易理解的内容，描述得让人云里雾里，深有故弄玄虚之感。 

首先，我最不理解的一点是，作者在一开始就做了一个不合理的假设（将词向量连续化），然后花了不少篇幅来论证和对应着 Von Mises–Fisher 分布。然后呢？就没有然后了，后面的所有内容跟这个 Von Mises–Fisher 分布可以说没有半点关系，所以不理解作者写这部分内容的目的是什么。 

接着，在优化那部分，作者说带约束 ||x||=1 的 f(x) 最小化问题不能用梯度下降，所以只能用“黎曼梯度下降”，然后就开始“炫技”了：先说说黎曼流形，然后给出一般的指数映射，再然后给出黎曼梯度，一波高端操作下来，最后却只保留了一个大家都能懂的方案： x=θ/||θ||。这时我就很“服气”了，虽然作者的逻辑和推导都没有毛病，但是一波操作下来最后却给看众一个 x=θ/||θ|| 的朴素结果，那为什么不一开始就直接讨论 f(x=θ/||θ||) 的优化呢？非得要去黎曼流形上面把普通读者绕晕？ 

此外，我说的比较有意思的部分，就是更新量的几何解释以及得到的调节因子，作者也说得挺迷糊的。总之，笔者认为，论文的理论推导部分，很多地方都充斥着很多不必要的专业术语，无端加深了普通看众的理解难度。 

最后强调一下，笔者从来不反对“一题多解”，也不反对将简单的内容深化、抽象化，因为“深化”、“抽象化”确实也可能获得更全面的认识，或者能显示各个分支之间的联系。但是这种“深化”、“抽象化”应该要建立在一个大多数人都能理解的简单解的基础上进行的，而不是为了“深化”、“抽象化”而特意舍去了大多数人能理解的简单解。 

实验结果

吐槽归吐槽，在实验部分，JoSE 做得还是很不错的。首先给出了 JoSE 的高效的 C 语言实现。

我试用了一下，训练确实很快速，训练好的词/句向量结果可以用 gensim 的 KeyedVectors 加载。另外我还看了一下源代码，很简练清晰，也方便做二次修改。至于实验结果，论文给出的词/句向量评测上面，JoSE 也是比较领先的：

▲ 词相似度评测

▲ 文本聚类评测

文章总结

本文分享了一个发表在 NeurIPS 2019 的文本向量模型 JoSE，着重讲了一下笔者觉得有启发性的部分，并用自己的方法给出了推导过程。JoSE 可以认为是 Doc2Vec 的自然变种，在细微之处做了调整，并且在优化方法上提出了作者自己的见解，除却一些疑似故弄玄虚的地方之外，还不失为一个可圈可点的工作。

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