程碧波:从中国版《几何原本》研究测度几何
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摘要:本文基于中国版《几何原本》重新审视测度问题,提出几何与几分理论下的测度等、测度邻域、测度势和测度连续等定义,并给出新理论下的确界定理、区间套定理、中值定理等。
关键词:测度、几何、几何原本、测度几何
本文基于徐光启版《几何原本》(以下称中国版《几何原本》)重新审视测度问题。中国版《几何原本》卷五第一界,阐述了“几何”之含义:“分者,几何之几何也。小能度大,以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰,几何之几,何者谓非?此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也。曰,能度大者谓小几何,大几何能尽大之分者也。”这段话清晰地阐述了何为“几何”:某量可以被更小的某度来分尽,既无不足亦无余数的,此量即为大几何,此度即为小几何。如果不能分尽,就“不为大几何内小几何也”,换言之,就不叫几何。本段对不能分尽的,给出了另一个专门名词“几分”。“若不尽分者,当称几分”。
一 切边角、曲线角与无穷小量的图形与数学表示
通常认为可绘制出的量均为有限小量,但中国版《几何原本》给出了可绘制的无穷小量“切边角”。“切边角”即切线与曲线的夹角,其无限趋于0但实际上并不等于0。进一步地,“切边角”是导数数据的代表,绝大多数导数值的极限为有穷值,但导数值本身并不是有穷值。例如:
(1)式即中国版《几何原本》所说的“曲线角”,其值包含无穷小量
下文将含有无穷大、无穷小项的数值称为无穷数值,否则称为有穷数值。并用
二 现有极限、连续及相关定理存在的问题
当前的数学体系对测度的理解存在较大的问题,这也说明此数学体系的确是在中国版《几何原本》的基础上发展,但却错误中国版《几何原本》关于测度的阐述,从而出现方向性的问题。
函数极限定义:若存在一个实数
现在构造反例:
(2)式中
但是,对任意有穷小值
倘若上述函数极限定义中,
再看连续的定义:若函数
由此导致下述定理存在问题:
上(下)确界定义:给定数集
本定义中,倘若
区间套定理:在区间套
显然地,区间套定理存在的问题是同样的。
有界性定理:若函数
有界性反例:
(3)式是
最大(小)值定理:若函数
零点存在定理:若函数
反例:取闭区间
中间值定理:若函数
显然地,类似零点存在定理的反例,在
一致连续概念:对于任意给定的
(2)式不是上述定义中的连续函数,自然也就不是上述定义中的一致连续函数。但是如果允许
三 测度等、测度界、测度邻域、测度势、测度连续及相关定理
中国版《几何原本》是如何处理高阶无穷小的测度问题呢?其卷三第十六题说:“切边角分之无尽,何谓不可减邪。若十卷第一题所言元无可疑,但以圆角分圆角则与其说合矣。彼所言大小两几何者,谓夫能相较为大、能相较为小者也。如以直线分直线角,以圆线分圆线角。是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉。增题有两种几何,一大一小。以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”。本段指出存在数量级高低阶不同的几何种类,但无穷小几何可以被同种无穷小几何细分(即测度)。因此中国版《几何原本》指出同数量级的几何之间可测,不同数量级的几何之间不可测。中国版《几何原本》中切边角、曲线角这种无穷小的图例代表了所有导数,其“以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”也是对不同种几何的普适性描述。对切边角、曲线角进行平方、立方等操作,显然再可以构造出现实存在的更多类型不同数量级的几何。中国版《几何原本》明确指出:“几何原本书中无有至大不可加之率,无有至小不可减之率。若切边角不可分,岂非至小不可减乎?”其含义是:“至小不可分的单点”不是几何,“至窄不可分的线”在其宽度上、“至薄不可分的面”在其厚度上也不是几何。
根据中国版《几何原本》的理论,邻域、极限和连续的研究,都必须要在一定测度的前提下进行。本文根据中国版《几何原本》中“几何”和“几分”定义如下。
对于
若
以上基于测度的定义中,几何之下还有几分、微几分。换言之,线的构成成分不是单点而是短微线,面的构成不是单线而是窄微面,体的构成不是单面而是薄微体。这正与中国版几何原本“一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也”完全一致。
本文定义“
由此有本文以下定理:
上(下)确界定义:给定数集
区间套定理:若一系列闭区间
有界性定理:若函数
最大(小)值定理:若函数
零点存在定理:若函数
中间值定理:若函数
一致连续概念:对于任意给定的有穷数
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